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Ecuación

Es una igualdad en la que invierten una o varias cantidades desconocidas llamadas incógnitas y que solo es verdadera para determinar valores de las incógnitas.

Las incógnitas o cantidades desconocidas son representadas por letras minúsculas del abecedario a, b, c,…, x, y, z.

Ejemplos:

X+7=10                                Es cierto solo para                               x=3

a-8=4                                    Es verdadero solo para                       a=12

3y=27                                  Se verifica solo para                             y=9

2/5=4                                 Se cumple solo para                            b=4

12/b=3                               Se satisface solo para                            b=4

X+3y=7                              Si la solución es                                     x=4 y=1

Ecuaciones de primer grado

La igualdad

Dentro de la reacción de la equivalencia,  las igualdades presentan al caso mas objetivo, pues cumplen con los caracteres de identidad, reflexividad y transitividad.

Cuando se tiene dos conjuntos formados por el mismo un numero de elementos, se obtiene una relacion de igualdad:

Si A=b,

 

                           

                               A= (x/x e A; x/x e B)

                               B= (x/x e B; x/x e A)

Para indicar la relación entre los dos conjuntos se emplea el signo igual para separar los valores que forman el primero y el segundo miembros:

Primer miembro = segundo miembro,

En toda igualdad, por su axioma fundamental que dice “ Si con valores iguales se verifican operaciones iguales”, se deduce:

-         Si a los dos miembros de una igualdad se les suma o resta un mismo valor  se obtiene otra igualdad.

-         Si a los dos miembros de una igualdad se les multiplica o divide por un mismo numero diferente de cero, se obtiene otra igualdad.

-         Si a los dos miembros de una igualdad se les eleva a una misma potencia o se les extrae una misma raíz, se obtiene otra igualdad.

-         Dos o más igualdades pueden sumarse o restarse miembro a miembro y se obtiene otra igualdad.

-         En toda igualdad, todo valor puede sustituirse por su igualdad

Considerablemente que en el conjunto de las expresiones algebraicas las igualdades formadas por ellas forman una relación de equivalencia perfectamente definida en ese conjunto. En toda igualdad formada por expresiones algebraicas se presentan dos situaciones:

1.- Que las igualdades se cumpla para cualquier conjunto de valores dados  alas variables, en cuyo caso recibe el nombre de identidad.

2.- Que la igualdad se cumpla únicamente para determinarlo grupo de valores asignados a las incógnitas, en cuyo caso recibe el nombre de ecuación.

La ecuación y su resolución

Por pertenecer a las igualdades, como ya se noto, se componen de primero y segundo miembros. La ecuación es numérica cuando la variable representa a un valor numerico. Es una ecuación literal cuando, además de la variable, existen otros valores que estan representados por literales para indicar datos conocidos. 

Grado de una ecuación

La ecuación con una variable determina su grado de por el mayor exponente de cualquiera de sus términos.

Resolver una ecuación es obtener la raíz o valor con la cual se verifica la igualdad. La resolución consiste en aplicar los caracteres y axiomas de las igualdades que en forma simplificada dan lugar a la “transportación de términos”, siempre con el propósito de obtener ecuaciones equivalentes. Se recomienda el siguiente proceso:

a)      Resolver, por separado, las operaciones indicadas en cada miembro (si las hay).

b)      Agrupar en un miembro todos los términos que contienen incógnitas y en el otro aquellos que no la contiene, aplicando los axiomas de las igualdades por el principio de transportación de términos: “Todo valor escrito en su miembro contrario deberá ser el inverso multiplicativo, etc.”.

c)      Reducir términos semejantes en cada miembro

d)     Despejar la incógnita, aplicando el inverso multiplicativo al coeficiente de la incógnita.

e)      Se comprueba el valor de la incógnita investigando si la ecuación puede convertirse en identidad al sustituirse el valor calculado para la incognita en la ecuación propuesta.

Ejemplos:

-         resolver 3x+4-7x-9-5=2x-3x+9-3

Escribiendo los inversos aditivos de los términos con incógnita en le primer miembro y los numéricos en el segundo miembro se forma la ecuación equivalente:

        3x-7x-2x-8x=9-3-4-3+5

Reduciendo termi9nos semejantes en cada miembro se obtiene:

                                                     2x=-2

A plicando al inverso multiplicativo del coeficiente de la incógnita (despejando):

                                                     X=-2/2

                                                     X=-1 

Para comprobar el resultado, se sustituye el valor calculado para la incognita en la ecuación propuesta. Es decir:

                                     3(-1)+4-7(-1)+9-5=2(-1)-8(-1)+9-3

                                    -3+4+7+9-5=-2+8+9-3

                                                        12=12 

Al formarse una identidad el valor calculado para la incógnita es correcto. 

-         5(x+3)-2(4x-9)=15-(3x+6)+3(x-3) 

En cada miembro se suprimen los paréntesis  efectuando las multiplicaciones indicadas

-         5x+15-8x+18=15-3x-6+3x-9

-         5x-8x+3x-3x=15-6-9-15-18

       -3x=-33

       X=- -33/-3

       X= 11

Ecuaciones de dos incognitas

Una ecuacion de la forma 

 ax + by + c = 0                                                            (1)

Donde a, b y c son constantes, con a y b no nulos simultáneamente, se llama una ecuación lineal en las variables x y y. Un par de valores, uno para x y otro para y, que satisfacen la ecuación se denomina solución de la ecuación. El conjunto de todas las soluciones se llama el conjunto de soluciones de la ecuación. Es

A = {(x, y)\ax + by + c = 0}

Ya hemos resuelto ecuaciones de la forma de la Ec. (1) con 6 = 0. Observe que si 6 = O, entonces cualquier valor de y satisfará esta ecuación mientras que x = — c/a. En consecuencia hay infinidad de soluciones y el conjunto de solu­ciones es 

A = {( x, y ) | ax + by +c = 0, b =o }= {( x, y ) | x = c/a, y pertenece a R }

Ahora supongamos que 6 = 0 y exprese la ecuación de la forma equivalente  (Def. 6.4) 

  A = {(x, y)|y = a/b x - c/b}                                                               (2)

Esta ecuación revela que hay un valor único de 31 que corresponde a cualquier valor arbitrario de"*. Por tanto hay infinidad de soluciones de la ecuación. El conjunto de soluciones es  

  A= {(x, y) | y = - a/b x - a/b} 

Observamos que la gráfica de una ecuación lineal en x y y es el conjunto de todos los puntos (x, y) del plano cuyas coordenadas satisfacen la ecuación. Y en geometría analítica se prueba que la gráfica es una línea recta. El nombre de ecuación lineal proviene de este hecho. Si b ¿ O, entonces la función definida por la ecuación es denominada, con bas­tante propiedad, función lineal. Es claro que la gráfica de este tipo de ecuación (o función) se puede dibujar a partir de dos de sus puntos.

Si, en la ecuación (1), b = O y a ¿ O, entonces la recta   s

 {(x, y) | x = c/a , y cualquier numero real  }

 llamada recta vertical