Una ecuacion de la forma
ax + by + c = 0 (1)
Donde a, b y c son constantes, con a y b no nulos simultáneamente, se llama una ecuación lineal en las variables x y y. Un par de valores, uno para x y otro para y, que satisfacen la ecuación se denomina solución de la ecuación. El conjunto de todas las soluciones se llama el conjunto de soluciones de la ecuación. Es
A = {(x, y)\ax + by + c = 0}
Ya hemos resuelto ecuaciones de la forma de la Ec. (1) con 6 = 0. Observe que si 6 = O, entonces cualquier valor de y satisfará esta ecuación mientras que x = — c/a. En consecuencia hay infinidad de soluciones y el conjunto de soluciones es
A = {( x, y ) | ax + by +c = 0, b =o }= {( x, y ) | x = c/a, y pertenece a R }
Ahora supongamos que 6 = 0 y exprese la ecuación de la forma equivalente (Def. 6.4)
A = {(x, y)|y = a/b x - c/b} (2)
Esta ecuación revela que hay un valor único de 31 que corresponde a cualquier valor arbitrario de"*. Por tanto hay infinidad de soluciones de la ecuación. El conjunto de soluciones es
A= {(x, y) | y = - a/b x - a/b}
Observamos que la gráfica de una ecuación lineal en x y y es el conjunto de todos los puntos (x, y) del plano cuyas coordenadas satisfacen la ecuación. Y en geometría analítica se prueba que la gráfica es una línea recta. El nombre de ecuación lineal proviene de este hecho. Si b ¿ O, entonces la función definida por la ecuación es denominada, con bastante propiedad, función lineal. Es claro que la gráfica de este tipo de ecuación (o función) se puede dibujar a partir de dos de sus puntos.
Si, en la ecuación (1), b = O y a ¿ O, entonces la recta s
{(x, y) | x = c/a , y cualquier numero real }
llamada recta vertical
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